• Fläche z=f(x, y)
• Punkt auf Fläche: P(xo, yo, zo)=f(xo, yo)
• Die Tangenten an die Fläche im Punkt P (siehe Bilder 2 und 3) spannen die Tangententialebene an die Fläche im Punkt P auf.
• Eine Abweichung vom Punkt P kann durch die Abweichungen in x-Richtung Δx und y-Richtung Δy ausgedrückt werden.
• Die Abweichung bewirkt eine Änderung des z-Wertes Δz der Tangentialebene.
• Durch vektorielle Rechnung ζ = ξ + η oder rein geometrisch wie in diesem Bild ergibt sich diese Abweichung als Summe der Abweichungskomponenten: Δz = Δxz + Δyz
• Mit den Ergebnissen in Bildern 2 und 3 ist:
Δz = fx(xo, yo)∙Δx + fy(xo, yo)∙Δy
• Im Grenzübergang (Δx,Δy)→(0,0) und für alle (x,y) entspricht dies dem totalen Differential (siehe Bild 1)
• Da dies für alle Abweichungen (Δx=x−xo , Δy=y−yo) auf der Tangentialebene gilt, ist die Gleichung der Tangentialebene an die Fläche im Punkt P=(xo, yo):
z = t(x,y) = f(xo,yo) + fx(xo,yo)∙(x-xo) + fy(xo,yo)∙(y-yo)
• Für kleine Abweichungen vom Punkt P kann dieser Wert Δz als Näherung für die Änderung der Flächenfunktion z=f(x,y) selbst dienen (siehe Bild 1).