Einige wichtige Integrale (in HTML-Darstellung)

Die Formeln werden mit dem Schriftsatz des Browsers angezeigt; im Gegensatz zu den sonst üblichen Formeln als Grafiken (meist GIF oder PNG). Man kann die Schriftgröße des Browsers beliebig ändern, um die Formeln ohne Lesbarkeitsverlust größer oder kleiner erscheinen zu lassen. Es sind keine »Plugins« oder »Addons« zur Ansicht nötig.

Sie können selbst solche Formeln mit PHP direkt in HTML erstellen. Sie finden eine Beschreibung dazu und die PHP-Skripte ► hier. Den Skript-Quellcode jeder Formel in der Integralformelsammlung bekommen Sie durch Berühren der Formel mit der Maus.

Inhalt:

Rationale Funktionen
Wurzelfunktionen
Sinusfunktionen
Cosinusfunktionen
Sinus- und Cosinusfunktionen gemischt
Tangensfunktionen
Cotangensfunktionen
Exponentialfunktionen
Logarithmusfunktionen
Inverse trigonometrische Funktionen (Arcus-Funktionen)
Hyperbelfunktionen
Inverse Hyperbelfunktionen (Area-Funktionen)
Gemischte Funktionen

1.1	∫ x n dx = 1 n + 1 · x n + 1 ∫x^n dx=1/{n+1}*x^{n+1}	( n ≠ − 1 )
1.2	∫ ( ax + b ) n dx = 1 a ( n + 1 ) · ( ax + b ) n + 1 ∫(ax+ b)^n dx=1/{a(n+1)}*(ax+b)^{n+1}	( n ≠ − 1 )
1.3	∫ x · ( ax + b ) n dx = 1 a 2 · ( n + 2 ) · ( ax + b ) n + 2 − b a 2 · ( n + 1 ) · ( ax + b ) n + 1 ∫x(ax+b)^n dx=1/{{a^2}(n+2)}(ax+b)^{n+2} - b/{{a^2}(n+1)}*(ax+b)^{n+1}	( n ≠ − 1 )
1.4	∫ 1 x dx = ln \| x \| ∫1/x dx=ln \|x\|
1.5	∫ 1 ax + b dx = 1 a · ln \| ax + b \| ∫1/{ax+b} dx=1/a*ln \|ax+b\|
1.6	∫ x ax + b dx = x a − b a 2 · ln \| ax + b \| ∫x/{ax+b} dx=x/a-b/{a^2}*ln \|ax+b\|
1.7	∫ 1 x · ( ax + b ) dx = − 1 b · ln \| ax + b x \| ∫1/{x(ax+b)} dx=-1/bln {\|{ax+b}/x\|}
1.8	∫ ax + b cx + d dx = ax c + bc − ad c 2 · ln \| cx + d \| ∫{ax+b}/{cx+d} dx=ax/c+{bc-ad}/{c^2}*ln \|{cx+d}\|
1.9	∫ 1 ( ax + b ) ( cx + d ) dx = − 1 bc − ad · ln \| cx + d ax + b \| ∫1/{(ax+b)(cx+d)} dx=-1/{bc-ad}*ln \|{cx+d}/{ax+b}\|	( bc ≠ ad )

1.10	∫ 1 ax 2 + bx + c dx = 2 √ 4ac − b 2 · arctan ( 2ax + b √ 4ac − b 2 ) ∫1/{ax^2+bx+c} dx=2/§4ac-b^2*arctan({2ax+b}/§4ac-b^2)	bei 4ac > b 2
	= − 2 2ax + b \ =-2/{2ax+b}	bei 4ac = b 2
	= 1 √ b 2 − 4ac · ln \| 2ax + b − √ b 2 − 4ac 2ax + b + √ b 2 − 4ac \| = 2 √ b 2 − 4ac · arctanh ( 2ax + b √ b 2 − 4ac ) \ =1/§b^2-4acln\|{2ax+b-§b^2-4ac}/{2ax+b+§b^2-4ac}\|=2/§b^2-4acarctanh({2ax+b}/§b^2-4ac)	bei 4ac < b 2
1.11	∫ x ax 2 + bx + c dx = 1 2a · ln \| ax 2 + bx + c \| − b 2a · ∫ 1 ax 2 + bx + c dx ∫x/{ax^2+bx+c} dx=1/2aln\|ax^2+bx+c\|-b/2a∫1/{ax^2+bx+c}dx	(siehe 1.10)
1.12	∫ 1 x · ( ax 2 + bx + c ) dx = 1 2c · ln ( x 2 ax 2 + bx + c ) − b 2c · ∫ 1 ax 2 + bx + c dx ∫1/{x(ax^2+bx+c)} dx=1/2cln({x^2}/{ax^2+bx+c})-b/2c*∫1/{ax^2+bx+c} dx	(siehe 1.10)
1.13	∫ 1 a 2 + x 2 dx = 1 a · arctan x a ∫1/{a^2+x^2} dx=1/a*arctan x/a
1.14	∫ 1 a 2 − x 2 dx = 1 2 · ln \| a + x a − x \| ∫1/{a^2-x^2} dx=1/2*ln\|{a+x}/{a-x}\|
1.15	∫ x a 2 ± x 2 dx = ± 1 2 · ln \| a 2 ± x 2 \| ∫x/{a^2+-x^2} dx=+-1/2*ln\|a^2+-x^2\|
1.16	∫ 1 x · ( a 2 ± x 2 ) dx = 1 2a 2 · ln \| x 2 a 2 ± x 2 \| ∫1/{x(a^2+-x^2)} dx=1/{2a^2}ln\|{x^2}/{a^2+-x^2}\|
1.17	∫ 1 x 2 + 1 dx = arctan x ∫1/{x^2+1} dx=arctan x
1.18	∫ 1 x 2 − 1 dx = 1 2 · ln \| x − 1 x + 1 \| ∫1/{x^2-1} dx=1/2*ln\|{x-1}/{x+1}\|

2.1	∫ √ x dx = 2 3 · √ x 3 = 2 3 · x · √ x ∫§x dx=2/3§x^3=2/3x*§x
2.2	∫ x · √ x dx = 2 5 · √ x 5 = 2 5 · x 2 · √ x ∫x§x dx=2/5§x^5=2/5x^2§x
2.3	∫ 1 √ x dx = 2 · √ x ∫1/§x dx=2*§x
2.4	∫ 1 x √ x dx = − 2 √ x ∫1/{x §x} dx=-2/§x
2.5	∫ √ ax + b dx = 2 3a · √ ( ax + b ) 3 ∫§{ax+b} dx=2/3a*§(ax+b)^3
2.6	∫ x · √ ax + b dx = 2 · ( 3ax − 2b ) 15a 2 · √ ( ax + b ) 3 ∫x§{ax+b} dx={2(3ax-2b)}/{15a^2}*§(ax+b)^3
2.7	∫ √ ax + b x dx = 2 · √ ax + b + b · ∫ 1 x · √ ax + b dx ∫§{ax+b}/x dx=2§{ax+b}+b∫1/{x*§{ax+b}} dx	(siehe 2.10)
2.8	∫ 1 √ ax + b dx = 2 a · √ ax + b ∫1/§{ax+b} dx=2/a*§{ax+b}
2.9	∫ x √ ax + b dx = 2 · ( ax − 2b ) 3a 2 · √ ax + b ∫x/§{ax+b} dx={2(ax-2b)}/{3a^2}§{ax+b}
2.10	∫ 1 x · √ ax + b dx = 1 √ b · ln \| √ ax + b − √ b √ ax + b + √ b \| ∫1/{x§{ax+b}} dx=1/§bln\|{§{ax+b}-§b}/{§{ax+b}+§b}\|	bei b > 0
	= 2 √ − b · arctan √ ax + b − b \ =2/§-b*arctan{§{{ax+b}/-b}}	bei b < 0
2.11	∫ 1 x n · √ ax + b dx = − √ ax + b ( n − 1 ) · b · x n − 1 − ( 2n − 3 ) · a ( 2n − 2 ) · b · ∫ 1 x n − 1 · √ ax + b dx ∫1/{x^n§{ax+b}} dx=-{§{ax+b}}/{(n-1)bx^{n-1}} - {(2n-3)a}/{(2n-2)b}∫1/{x^{n-1}*§{ax+b}} dx	(führt letztlich auf 2.10)
2.13	∫ √ x 2 ± a 2 dx = x 2 · √ x 2 ± a 2 ± a 2 2 · ln \| x + √ x 2 ± a 2 \| ∫§{x^2+-a^2} dx=x/2§{x^2+-a^2}+-{a^2}/2ln\|x+§{x^2+-a^2}\|
2.12	∫ √ a 2 − x 2 dx = x 2 · √ a 2 − x 2 + a 2 2 · arcsin x a ∫§{a^2-x^2} dx=x/2§{a^2-x^2}+{a^2}/2arcsin x/a
2.13	∫ √ x 2 ± a 2 dx = x 2 · √ x 2 ± a 2 ± a 2 2 · ln \| x + √ x 2 ± a 2 \| ∫§{x^2+-a^2} dx=x/2§{x^2+-a^2}+-{a^2}/2ln\|x+§{x^2+-a^2}\|

2.14	∫ x · √ a 2 − x 2 dx = − 1 3 · √ ( a 2 − x 2 ) 3 ∫x§{a^2-x^2} dx=-1/3§(a^2-x^2)^3
2.15	∫ x · √ x 2 ± a 2 dx = 1 3 · √ ( x 2 ± a 2 ) 3 ∫x§{x^2+-a^2} dx=1/3§(x^2+-a^2)^3
2.16	∫ √ x 2 − a 2 x dx = √ x 2 − a 2 − a · arccos a x ∫§{x^2-a^2}/x dx=§{x^2-a^2} - a*arccos a/x
2.17	∫ √ a 2 ± x 2 x dx = √ a 2 ± x 2 − a · ln \| a + √ a 2 ± x 2 x \| ∫§{a^2+-x^2}/x dx=§{a^2+-x^2}-a*ln\|{a+§{a^2+-x^2}}/x\|
2.18	∫ 1 √ a 2 − x 2 dx = arcsin x a ∫1/§{a^2-x^2} dx=arcsin x/a
2.19	∫ 1 √ x 2 ± a 2 dx = ln \| x + √ x 2 ± a 2 \| ∫1/§{x^2+-a^2} dx=ln\|x+§{x^2+-a^2}\|
2.20	∫ x √ a 2 − x 2 dx = − √ a 2 − x 2 ∫x/§{a^2-x^2} dx=-§{a^2-x^2}
2.21	∫ x √ x 2 ± a 2 dx = √ x 2 ± a 2 ∫x/§{x^2+-a^2} dx=§{x^2+-a^2}
2.22	∫ 1 x √ x 2 − a 2 dx = 1 a · arccos a x ∫1/{x §{x^2-a^2}} dx=1/a*arccos a/x
2.23	∫ 1 x √ a 2 ± x 2 dx = − 1 a · ln \| a + √ a 2 ± x 2 x \| ∫1/{x §{a^2+-x^2}} dx=-1/a*ln\|{a+§{a^2+-x^2}}/x\|
2.24	∫ √ ax 2 + bx + c dx = 2ax + b 4a · √ ax 2 + bx + c + 4ac − b 2 8a · ∫ 1 √ ax 2 + bx + c dx ∫§{ax^2+bx+c} dx={2ax+b}/4a§{ax^2+bx+c}+{4ac-b^2}/8a∫1/§{ax^2+bx+c} dx	(siehe 2.26)
2.25	∫ x · √ ax 2 + bx + c dx = 1 3a · √ ( ax 2 + bx + c ) 3 − 2abx + b 2 8a 2 · √ ax 2 + bx + c − 4abc − b 3 16a 2 · ∫ 1 √ ax 2 + bx + c dx ∫x§{ax^2+bx+c} dx=1/3a§(ax^2+bx+c)^3-{2abx+b^2}/8a^2§{ax^2+bx+c}-{4abc-b^3}/16a^2∫1/§{ax^2+bx+c} dx
2.26	∫ 1 √ ax 2 + bx + c dx = 1 √ a · ln \| 2 · √ a · ( ax 2 + bx + c ) + 2ax + b \| ∫1/§{ax^2+bx+c} dx=1/§aln\|2§{a*(ax^2+bx+c)} + 2ax + b\|	bei a > 0
	= 1 √ a · ln \| 2ax + b \| \ =1/§a*ln\|2ax+b\|	bei a > 0 ∧ 4ac = b 2
	= − 1 √ − a · arcsin 2ax + b √ b 2 − 4ac \ =-1/§ -a*arcsin {2ax+b}/§{b^2-4ac}	bei a < 0 ∧ 4ac < b 2
2.27	∫ x √ ax 2 + bx + c dx = 1 a · √ ax 2 + bx + c − b 2a · ∫ 1 √ ax 2 + bx + c dx ∫x/§{ax^2+bx+c} dx=1/a§{ax^2+bx+c}-b/2a∫1/§{ax^2+bx+c} dx	(siehe 2.26)

3.1	∫ sin x dx = − cos x ∫sin {x} dx=-cos x
3.2	∫ sin ax dx = − 1 a · cos ax ∫sin ax dx=-1/a*cos ax
3.3	∫ sin 2 ax dx = x 2 − 1 4a · sin 2ax ∫sin^2 ax dx=x/2-1/4a*sin 2ax
3.4	∫ sin n ax dx = − sin n − 1 ax · cos ax n · a + n − 1 n · ∫ sin n − 2 ax dx ∫sin^n ax dx=-{sin^{n-1}axcos ax}/{na}+{n-1}/n*∫sin^{n-2}ax dx	(n ∈ Ν , n ≥ 2 ; führt letztlich auf 3.2)
3.5	∫ x · sin ax dx = sin ax a 2 − x · cos ax a ∫xsin ax dx={sin ax}/a^2-{xcos ax}/a
3.6	∫ x n · sin ax dx = − x n a · cos ax + n a · ∫ x n − 1 · cos ax dx ∫x^nsin ax dx=-{x^n}/acos ax+n/a∫{x^{n-1}cos ax} dx	(n ∈ Ν , n ≥ 1 ; siehe 4.6)
3.7	∫ 1 sin ax dx = 1 a · ln \| tan ax 2 \| ∫1/sin ax dx=1/a*ln\|tan ax/2\|

3.8	∫ 1 sin 2 ax dx = − 1 a · cot ax = − 1 a · tan ax ∫1/sin^2 ax dx=-1/acot ax=-1/{atan ax}
3.9	∫ 1 sin n ax dx = − 1 a · ( n − 1 ) · cos ax sin n − 1 ax + n − 2 n − 1 · ∫ 1 sin n − 2 ax dx ∫1/ sin^n ax dx=-1/{a(n-1)}cos ax/sin^{n-1} ax+{n-2}/{n-1}*∫1/sin^{n-2} ax dx	(n ∈ Ν , n ≥ 2 ; führt letztlich auf 3.7)
3.10	∫ 1 1 ± sin ax dx = 1 a · tan ( ax 2 − ± π 4 ) ∫1/{1+-sin ax} dx=1/a*tan(ax/2-{+-%p}/4)
3.11	∫ sin ax 1 ± sin ax dx = ± x + 1 a · tan ( π 4 − ± ax 2 ) ∫{sin ax}/{1+-sin ax} dx=+-x+1/a*tan(%p/4 - {+-ax}/2)
3.12	∫ x 1 + sin ax dx = − x a · tan ( π 4 − ax 2 ) + 2 a 2 · ln \| cos ( π 4 − ax 2 ) \| ∫x/{1+sin ax} dx=-x/atan(%p/4 - ax/2) + 2/{a^2}ln\|cos(%p/4 - ax/2)\|
3.13	∫ x 1 − sin ax dx = x a · cot ( π 4 − ax 2 ) + 2 a 2 · ln \| sin ( π 4 − ax 2 ) \| ∫x/{1-sin ax} dx=x/acot(%p/4 - ax/2) + 2/{a^2}ln\|sin(%p/4 - ax/2)\|
3.14	∫ sin ax · sin bx dx = sin ( ax − bx ) 2 · ( a − b ) − sin ( ax + bx ) 2 · ( a + b ) ∫sin axsin bx dx={sin(ax-bx)}/{2(a-b)}-{sin(ax+bx)}/{2*(a+b)}	( \| a \| ≠ \| b \| )

4.1	∫ cos x dx = sin x ∫cos x dx=sin x
4.2	∫ cos ax dx = 1 a · sin ax ∫cos ax dx=1/a*sin ax
4.3	∫ cos 2 ax dx = x 2 + 1 4a · sin 2ax ∫cos^2 ax dx=x/2+1/4a*sin 2ax
4.4	∫ cos n ax dx = cos n − 1 ax · sin ax n · a + n − 1 n · ∫ cos n − 2 ax dx ∫cos^n ax dx={cos^{n-1}axsin ax}/{na}+{n-1}/n*∫cos^{n-2}ax dx	(n ∈ Ν , n ≥ 2 ; führt letztlich auf 4.2)
4.5	∫ x · cos ax dx = cos ax a 2 + x · sin ax a ∫xcos ax dx={cos ax}/a^2+{xsin {ax}}/a
4.6	∫ x n · cos ax dx = x n a · sin ax − n a · ∫ x n − 1 · sin ax dx ∫x^ncos ax dx={x^n}/asin ax-n/a∫x^{n-1}sin ax dx	(n ∈ Ν , n ≥ 1 ; siehe 3.6)
4.7	∫ 1 cos ax dx = 1 a · ln \| tan ( ax 2 + π 4 ) \| ∫1/cos ax dx=1/a*ln\|tan (ax/2+%p/4)\|

4.8	∫ 1 cos 2 ax dx = 1 a · tan ax ∫1/cos^2 ax dx=1/a*tan ax
4.9	∫ 1 cos n ax dx = 1 a · ( n − 1 ) · sin ax cos n − 1 ax + n − 2 n − 1 · ∫ 1 cos n − 2 ax dx ∫1/cos^n ax dx=1/{a(n-1)}{sin ax}/cos^{n-1} ax+{n-2}/{n-1}*∫1/cos^{n-2} ax dx	(n ∈ Ν , n ≥ 2 ; führt letztlich auf 4.7)
4.10.1	∫ 1 1 + cos ax dx = 1 a · tan ax 2 ∫1/{1+cos ax} dx=1/a*tan ax/2
4.10.2	∫ 1 1 − cos ax dx = − 1 a · cot ax 2 = − 1 a · tan ax 2 ∫1/{1-cos ax} dx=-1/acot ax/2=-1/{atan ax/2}
4.11.1	∫ cos ax 1 + cos ax dx = x − 1 a · tan ax 2 ∫{cos ax}/{1+cos ax} dx=x-1/a*tan ax/2
4.11.2	∫ cos ax 1 − cos ax dx = − x − 1 a · cot ax 2 = − x − 1 a · tan ax 2 ∫{cos ax}/{1-cos ax} dx=-x-1/acot ax/2=-x-1/{atan ax/2}
4.12	∫ x 1 + cos ax dx = x a · tan ax 2 + 2 a 2 · ln \| cos ax 2 \| ∫x/{1+cos ax} dx=x/atan ax/2 + 2/{a^2}ln\|cos{ax/2}\|
4.13	∫ x 1 − cos ax dx = − x a · cot ax 2 + 2 a 2 · ln \| sin ax 2 \| ∫x/{1-cos ax} dx=-x/acot ax/2 + 2/a^2ln\|sin ax/2\|
4.14	∫ cos ax · cos bx dx = sin ( ax − bx ) 2 · ( a − b ) + sin ( ax + bx ) 2 · ( a + b ) ∫cos axcos bx dx={sin(ax-bx)}/{2(a-b)}+{sin(ax+bx)}/{2*(a+b)}	( \| a \| ≠ \| b \| )

5.1	∫ sin ax · cos ax dx = 1 2a · sin 2 ax ∫sin axcos ax dx=1/2asin^2 ax
5.2	∫ sin 2 ax · cos 2 ax dx = x 8 − sin 4ax 32a ∫sin^2 ax*cos^2 ax dx=x/8 - {sin 4ax}/32a
5.3	∫ sin n ax · cos ax dx = 1 a · ( n + 1 ) · sin n + 1 ax ∫sin^n axcos ax dx=1/{a(n+1)}*sin^{n+1} ax	(n ≠ − 1)
5.4	∫ sin ax · cos n ax dx = − 1 a · ( n + 1 ) · cos n + 1 ax ∫sin axcos^n ax dx=-1/{a(n+1)}*cos^{n+1} ax	(n ≠ − 1) \(n<>-1\)
5.5	∫ sin n ax cos ax dx = − sin n − 1 ax a · ( n − 1 ) + ∫ sin n − 2 ax cos ax dx ∫{sin^n ax}/cos ax dx=-{sin^{n-1} ax}/{a*(n-1)} + ∫{sin^{n-2} ax}/cos ax dx	(n ≠ 1 ; führt letztlich zu 4.7 oder 6.2)
5.6	∫ cos n ax sin ax dx = cos n − 1 ax a · ( n − 1 ) + ∫ cos n − 2 ax sin ax dx ∫{cos^n ax}/sin ax dx={cos^{n-1} ax}/{a*(n-1)} + ∫{cos^{n-2} ax}/sin ax dx	(n ≠ 1 ; führt letztlich zu 3.7 oder 7.2)
5.7	∫ 1 sin ax · cos ax dx = 1 a · ln \| tan ax \| ∫1/{sin axcos ax} dx=1/aln\|tan ax\|

5.8	∫ 1 sin ax ± cos ax dx = 1 a · √ 2 · ln \| tan ( ax 2 ± π 8 ) \| ∫1/{sin ax+-cos ax} dx=1/{a§2}ln\|tan(ax/2 +- %p/8)\|
5.9	∫ sin ax sin ax ± cos ax dx = x 2 − ± 1 2a · ln \| sin ax ± cos ax \| ∫{sin ax}/{sin ax+-cos ax} dx=x/2 - {+-1}/2a*ln\|sin ax +- cos ax\|
5.10	∫ cos ax sin ax ± cos ax dx = ± x 2 + 1 2a · ln \| sin ax ± cos ax \| ∫{cos ax}/{sin ax+-cos ax} dx=+-x/2 + 1/2a*ln\|sin ax +- cos ax\|
5.11	∫ sin ax b · cos ax + c dx = − 1 ab · ln \| b · cos ax + c \| ∫{sin ax}/{bcos ax+c} dx=-1/abln\|b*cos ax+c\|
5.12	∫ cos ax b · sin ax + c dx = 1 ab · ln \| b · sin ax + c \| ∫{cos ax}/{bsin ax+c} dx=1/abln\|b*sin {ax}+c\|
5.13	∫ sin ax · cos bx dx = − cos ( ax − bx ) 2 · ( a − b ) − cos ( ax + bx ) 2 · ( a + b ) ∫sin axcos bx dx=-{cos(ax-bx)}/{2(a-b)} - {cos(ax+bx)}/{2*(a+b)}	( \| a \| ≠ \| b \| ) \(\|a\|<>\|b\|\)

6.1	∫ tan x dx = − ln \| cos x \| ∫tan x dx=-ln\|cos x\|
6.2	∫ tan ax dx = − 1 a · ln \| cos ax \| ∫tan ax dx=-1/a*ln\|cos ax\|
6.3	∫ tan 2 ax dx = tan ax a − x ∫tan^2 ax dx={tan ax}/a-x

6.4	∫ tan n ax dx = 1 a · ( n − 1 ) · tan n − 1 ax − ∫ tan n − 2 ax dx ∫tan^n ax dx=1/{a(n-1)}tan^{n-1} ax - ∫ tan^{n-2} ax dx	(führt letztlich zu 6.2 oder 6.3)
6.5	∫ 1 tan ax ± 1 dx = ± x 2 + 1 2a · ln \| sin ax ± cos ax \| ∫1/{tan ax+-1} dx=+-x/2+1/2a*ln\|sin ax+-cos ax\|
6.6	∫ tan ax tan ax ± 1 dx = x 2 − ± 1 2a · ln \| sin ax ± cos ax \| ∫{tan ax}/{tan ax+-1} dx=x/2-{+-1}/2a*ln\|sin ax+-cos ax\|

7.1	∫ cot x dx = ln \| sin x \| ∫cot x dx=ln\|sin x\|
7.2	∫ cot ax dx = 1 a · ln \| sin ax \| ∫cot ax dx=1/a*ln\|sin ax\|

7.3	∫ cot 2 ax dx = − cot ax a − x ∫cot^2 ax dx=-{cot ax}/a-x
7.4	∫ cot n ax dx = − 1 a · ( n − 1 ) · cot n − 1 ax − ∫ cot n − 2 ax dx ∫cot^n ax dx=-1/{a(n-1)}cot^{n-1} ax - ∫cot^{n-2} ax dx	(führt letztlich zu 7.2 oder 7.3)
7.5	∫ 1 1 ± cot ax dx = ∫ tan ax tan ax ± 1 dx ∫1/{1+-cot ax} dx=∫{tan ax}/{tan ax+-1} dx	(siehe 6.6)

8.1	∫ e x dx = e x ∫e^x dx=e^x
8.2	∫ e ax dx = 1 a · e ax ∫e^ax dx=1/a*e^ax
8.3	∫ x · e ax dx = e ax a 2 · ( ax − 1 ) ∫xe^ax dx={e^ax}/a^2(ax-1)

8.4	∫ x n · e ax dx = 1 a · x n · e ax − n a · ∫ x n − 1 · e ax dx ∫x^ne^ax dx=1/ax^ne^ax - n/a∫x^{n-1}*e^ax dx	(führt letztlich zu 8.3)
8.5	∫ 1 b · e ax + c dx = x c − 1 ac · ln \| b · e ax + c \| ∫1/{be^ax+c} dx=x/c-1/acln\|b*e^ax+c\|
8.6	∫ e ax b · e ax + c dx = 1 ab · ln \| b · e ax + c \| ∫{e^ax}/{be^ax+c} dx=1/abln\|b*e^ax+c\|

9.1	∫ ln x dx = x · ln x − x = x · ( ln x − 1 ) ∫ln x dx=xln x-x=x(ln x-1)
9.2	∫ ( ln x ) 2 dx = x · ( ln x ) 2 − 2 x · ln x + 2 x ∫(ln x)^2 dx=x(ln x)^2 - 2 xln x + 2 x
9.3	∫ ( ln x ) n dx = x · ( ln x ) n − n · ∫ ( ln x ) n − 1 dx ∫(ln x)^n dx=x(ln x)^n - n∫(ln x)^{n-1} dx	(n ≠ − 1 ; führt letztlich zu 9.1)
9.4	∫ x m · ln x dx = x m + 1 · [ ln x m + 1 − 1 ( m + 1 ) 2 ] ∫x^mln x dx=x^{m+1}[{ln x}/{m+1} - 1/(m+1)^2]	(m ≠ − 1)
9.5	∫ ( ln x ) n x dx = ( ln x ) n + 1 n + 1 ∫{(ln x)^n}/x dx={(ln x)^{n+1}}/{n+1}

9.6	∫ ln x x m dx = − ln x ( m − 1 ) · x m − 1 − 1 ( m − 1 ) 2 · x m − 1 ∫{ln x}/x^m dx=-{ln x}/{(m-1)x^{m-1}} - 1/{(m-1)^2x^{m-1}}	(m ≠ 1)
9.7	∫ ( ln x ) n x m dx = − ( ln x ) n ( m − 1 ) · x m − 1 + n m − 1 · ∫ ( ln x ) n − 1 x m dx ∫{(ln {x})^n}/{x^m} dx=-{(ln x)^n}/{(m-1)x^{m-1}} + n/{m-1}∫{(ln x)^{n-1}}/x^m dx	(m ≠ 1 ; führt letztlich zu 9.6)
9.8	∫ 1 x · ln x dx = ln ln x ∫1/{x*ln x} dx=ln ln x
9.9	∫ 1 x · ( ln x ) n dx = − 1 ( n − 1 ) · ( ln x ) n − 1 ∫1/{x(ln x)^n} dx=-1/{(n-1)(ln x)^{n-1}}	(n ≠ 1)

10.1.1	∫ arcsin x dx = x · arcsin x + √ 1 − x 2 ∫arcsin x dx=x*arcsin x+§{1-x^2}
10.1.2	∫ arccos x dx = x · arccos x − √ 1 − x 2 ∫arccos x dx=x*arccos x-§{1-x^2}
10.1.3	∫ arctan x dx = x · arctan x − 1 2 · ln ( 1 + x 2 ) ∫arctan x dx=xarctan x-1/2ln(1+x^2)
10.1.4	∫ arccot x dx = x · arccot x + 1 2 · ln ( 1 + x 2 ) ∫arccot x dx=xarccot x+1/2ln(1+x^2)
10.2	∫ arcsin x a dx = x · arcsin x a + √ a 2 − x 2 ∫arcsin x/a dx=x*arcsin x/a+§{a^2-x^2}
10.3	∫ x · arcsin x a dx = ( x 2 2 − a 2 4 ) · arcsin x a + x 4 · √ a 2 − x 2 ∫xarcsin x/a dx=({x^2}/2-{a^2}/4)arcsin x/a+x/4*§{a^2-x^2}
10.4	∫ arccos x a dx = x · arccos x a − √ a 2 − x 2 ∫arccos x/a dx=x*arccos x/a-§{a^2-x^2}

10.5	∫ x · arccos x a dx = ( x 2 2 − a 2 4 ) · arccos x a − x 4 · √ a 2 − x 2 ∫xarccos x/a dx=({x^2}/2-{a^2}/4)arccos x/a-x/4*§{a^2-x^2}
10.6	∫ arctan x a dx = x · arctan x a − a 2 · ln ( a 2 + x 2 ) ∫arctan x/a dx=xarctan x/a-a/2ln(a^2+x^2)
10.7	∫ x · arctan x a dx = 1 2 · ( x 2 + a 2 ) · arctan x a − ax 2 ∫xarctan x/a dx=1/2(x^2+a^2)*arctan x/a-ax/2
10.8	∫ arccot x a dx = x · arccot x a + a 2 · ln ( a 2 + x 2 ) ∫arccot x/a dx=xarccot x/a+a/2ln(a^2+x^2)
10.9	∫ x · arccot x a dx = 1 2 · ( x 2 + a 2 ) · arccot x a + ax 2 ∫xarccot x/a dx=1/2(x^2+a^2)*arccot x/a+ax/2

11.1.1	∫ sinh x dx = cosh x ∫sinh x dx=cosh x
11.1.2	∫ cosh x dx = sinh x ∫cosh x dx=sinh x
11.1.3	∫ tanh x dx = ln cosh x ∫tanh x dx=ln cosh x
11.1.4	∫ coth x dx = ln sinh x ∫coth x dx=ln sinh x
11.2	∫ sinh ax dx = 1 a · cosh ax ∫sinh ax dx=1/a*cosh ax
11.3	∫ sinh 2 ax dx = 1 4a · sinh 2ax − x 2 ∫sinh^2 ax dx=1/4a*sinh 2ax-x/2
11.4	∫ 1 sinh ax dx = 1 a · ln \| tanh ax 2 \| ∫1/sinh ax dx=1/a*ln\|tanh ax/2\|
11.5	∫ 1 sinh 2 ax dx = − 1 a · coth ax ∫1/sinh^2 ax dx=-1/a*coth ax
11.6	∫ x · sinh ax dx = x a · cosh ax − 1 a 2 · sinh ax ∫xsinh ax dx=x/acosh ax-1/a^2*sinh ax
11.7	∫ sinh ax · sinh bx dx = 1 a 2 − b 2 · ( a · sinh bx · cosh ax − b · sinh ax · cosh bx ) ∫sinh axsinh bx dx=1/{a^2-b^2}(asinh bxcosh ax-bsinh axcosh bx)	( \| a \| ≠ \| b \| )
11.8	∫ cosh ax dx = 1 a · sinh ax ∫cosh ax dx=1/a*sinh ax

11.9	∫ cosh 2 ax dx = 1 4a · sinh 2ax + x 2 ∫cosh^2 ax dx=1/4a*sinh 2ax+x/2
11.10	∫ 1 cosh ax dx = 2 a · arctan e ax ∫1/cosh ax dx=2/a*arctan e^ax
11.11	∫ 1 cosh 2 ax dx = 1 a · tanh ax ∫1/cosh^2 ax dx=1/a*tanh ax
11.12	∫ x · cosh ax dx = x a · sinh ax − 1 a 2 · cosh ax ∫xcosh ax dx=x/asinh ax-1/a^2*cosh ax
11.13	∫ cosh ax · cosh bx dx = 1 a 2 − b 2 · ( a · sinh ax · cosh bx − b · sinh bx · cosh ax ) ∫cosh axcosh bx dx=1/{a^2-b^2}(asinh axcosh bx-bsinh bxcosh ax)	( \| a \| ≠ \| b \| )
11.14	∫ tanh ax dx = 1 a · ln cosh ax ∫tanh ax dx=1/a*ln cosh ax
11.15	∫ tanh 2 ax dx = x − tanh ax a ∫tanh^2 ax dx=x-{tanh ax}/a
11.16	∫ coth ax dx = 1 a · ln sinh ax ∫coth ax dx=1/a*ln sinh ax
11.17	∫ coth 2 ax dx = x − coth ax a ∫coth^2 ax dx=x-{coth ax}/a
11.18	∫ sinh ax · cosh bx dx = 1 a 2 − b 2 · ( b · sinh ax · sinh bx − a · cosh ax · cosh bx ) ∫sinh axcosh bx dx=1/{a^2-b^2}(bsinh axsinh bx-acosh axcosh bx)	( \| a \| ≠ \| b \| )

12.1.1	∫ arsinh x dx = x · arsinh x − √ x 2 − 1 ∫arsinh x dx=x*arsinh x-§{x^2-1}
12.1.2	∫ arcosh x dx = x · arcosh x − √ x 2 − 1 ∫arcosh x dx=x*arcosh x-§{x^2-1}
12.1.3	∫ artanh x dx = x · artanh x + 1 2 · ln ( 1 − x 2 ) ∫artanh x dx=xartanh x+1/2ln(1-x^2)
12.1.4	∫ arcoth x dx = x · arcoth x + 1 2 · ln ( x 2 − 1 ) ∫arcoth x dx=xarcoth x+1/2ln(x^2-1)

12.2	∫ arsinh x a dx = x · arsinh x a − √ x 2 + a 2 ∫arsinh x/a dx=x*arsinh x/a-§{x^2+a^2}
12.3	∫ arcosh x a dx = x · arcosh x a − √ x 2 − a 2 ∫arcosh x/a dx=x*arcosh x/a-§{x^2-a^2}
12.4	∫ artanh x a dx = x · artanh x a + a 2 · ln ( a 2 − x 2 ) ∫artanh x/a dx=xartanh x/a+a/2ln(a^2-x^2)
12.5	∫ arcoth x a dx = x · arcoth x a + a 2 · ln ( x 2 − a 2 ) ∫arcoth x/a dx=xarcoth x/a+a/2ln(x^2-a^2)

13.1	∫ e ax · sin bx dx = e ax a 2 + b 2 · ( a · sin bx − b · cos bx ) ∫e^axsin bx dx={e^ax}/{a^2+b^2}(asin bx- bcos bx)
13.2	∫ e ax · cos bx dx = e ax a 2 + b 2 · ( a · cos bx + b · sin bx ) ∫e^axcos bx dx={e^ax}/{a^2+b^2}(acos bx+bsin bx)
13.3	∫ e ax · sin n x dx = e ax · sin n − 1 x a 2 + n 2 · ( a · sin x − n · cos x ) + n · ( n − 1 ) a 2 + n 2 · ∫ e ax · sin n − 2 x dx; ∫e^axsin^n x dx={e^axsin^{n-1} x}/{a^2+n^2}(asin x-ncos x)+{n(n-1)}/{a^2+n^2}∫e^axsin^{n-2}x dx;	(siehe 8.2 oder 13.1)
13.4	∫ e ax · cos n x dx = e ax · cos n − 1 x a 2 + n 2 · ( a · cos x + n · sin x ) + n · ( n − 1 ) a 2 + n 2 · ∫ e ax · cos n − 2 x dx; ∫e^axcos^n x dx={e^axcos^{n-1} x}/{a^2+n^2}(acos x+nsin x)+{n(n-1)}/{a^2+n^2}∫e^axcos^{n-2}x dx;	(siehe 8.2 oder 13.2)
13.5	∫ e ax · sin bx dx = x · e ax a 2 + b 2 · ( a · sin x − b · cos x ) − e ax ( a 2 + b 2 ) 2 · [ ( a 2 − b 2 ) · sin bx − 2ab · cos bx ] ∫e^axsin bx dx={xe^ax}/{a^2+b^2}(asin x-bcos x)-{e^ax}/(a^2+b^2)^2[(a^2-b^2)sin bx-2abcos bx]

13.6	∫ e ax · cos bx dx = x · e ax a 2 + b 2 · ( a · cos x + b · sin x ) − e ax ( a 2 + b 2 ) 2 · [ ( a 2 − b 2 ) · cos bx − 2ab · sin bx ] ∫e^axcos bx dx={xe^ax}/{a^2+b^2}(acos x+bsin x)-{e^ax}/(a^2+b^2)^2[(a^2-b^2)cos bx-2absin bx]
13.7	∫ sin ln x dx = x 2 · ( sin ln x − cos ln x ) ∫sin ln x dx=x/2*(sin ln x - cos ln x)
13.8	∫ cos ln x dx = x 2 · ( sin ln x + cos ln x ) ∫cos ln x dx=x/2*(sin ln x + cos ln x)
13.9	∫ sinh ax · sin ax dx = 1 2a · ( cosh ax · sin ax − sinh ax · cos ax ) ∫sinh axsin ax dx=1/2a(cosh axsin ax-sinh axcos ax)
13.10	∫ cosh ax · cos ax dx = 1 2a · ( sinh ax · cos ax + cosh ax · sin ax ) ∫cosh axcos ax dx=1/2a(sinh axcos ax+cosh axsin ax)
13.11	∫ sinh ax · cos ax dx = 1 2a · ( cosh ax · cos ax + sinh ax · sin ax ) ∫sinh axcos ax dx=1/2a(cosh axcos ax+sinh axsin ax)
13.12	∫ cosh ax · sin ax dx = 1 2a · ( sinh ax · sin ax − cosh ax · cos ax ) ∫cosh axsin ax dx=1/2a(sinh axsin ax-cosh axcos ax)

5.8	∫ 1 sin ax ± cos ax dx = 1 a · √ 2 · ln \| tan ( ax 2 ± π 8 ) \| ∫1/{sin ax+-cos ax} dx=1/{a§2}ln\|tan(ax/2 +- %p/8)\|
5.9	∫ sin ax sin ax ± cos ax dx = x 2 − ± 1 2a · ln \| sin ax ± cos ax \| ∫{sin ax}/{sin ax+-cos ax} dx=x/2 - {+-1}/2a*ln\|sin ax +- cos ax\|
5.10	∫ cos ax sin ax ± cos ax dx = ± x 2 + 1 2a · ln \| sin ax ± cos ax \| ∫{cos ax}/{sin ax+-cos ax} dx=+-x/2 + 1/2a*ln\|sin ax +- cos ax\|
5.11	∫ sin ax b · cos ax + c dx = − 1 ab · ln \| b · cos ax + c \| ∫{sin ax}/{bcos ax+c} dx=-1/abln\|b*cos ax+c\|
5.12	∫ cos ax b · sin ax + c dx = 1 ab · ln \| b · sin ax + c \| ∫{cos ax}/{bsin ax+c} dx=1/abln\|b*sin {ax}+c\|
5.13	∫ sin ax · cos bx dx = − cos ( ax − bx ) 2 · ( a − b ) − cos ( ax + bx ) 2 · ( a + b ) ∫sin axcos bx dx=-{cos(ax-bx)}/{2(a-b)} - {cos(ax+bx)}/{2*(a+b)}	( \| a \| ≠ \| b \| ) \(\|a\|<>\|b\|\)

Wolfgang Pavel:
Bilderbuch zur Mathematik: Integrale

Einige wichtige Integrale (in HTML-Darstellung)

Inhalt:

1. Rationale Funktionen:

2. Wurzelfunktionen:

3. Sinusfunktionen:

4. Cosinusfunktionen:

5. Sinus- und Cosinusfunktionen gemischt:

6. Tangensfunktionen:

7. Cotangensfunktionen:

8. Exponentialfunktionen:

9. Logarithmusfunktionen:

10. Inverse trigonometrische Funktionen (Arcus-Funktionen):

11. Hyperbelfunktionen:

12. Inverse Hyperbelfunktionen (Area-Funktionen):

13. Gemischte Funktionen:

Wolfgang Pavel: Bilderbuch zur Mathematik: Integrale

Einige wichtige Integrale (in HTML-Darstellung)

Inhalt:

1. Rationale Funktionen:

2. Wurzelfunktionen:

3. Sinusfunktionen:

4. Cosinusfunktionen:

5. Sinus- und Cosinusfunktionen gemischt:

6. Tangensfunktionen:

7. Cotangensfunktionen:

8. Exponentialfunktionen:

9. Logarithmusfunktionen:

10. Inverse trigonometrische Funktionen (Arcus-Funktionen):

11. Hyperbelfunktionen:

12. Inverse Hyperbelfunktionen (Area-Funktionen):

13. Gemischte Funktionen:

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